Передаточная функция
Целью рассмотрения САУ может быть решение одной из двух задач: задачи анализа или задачи синтеза. Но в любом случае порядок исследования САУ включает в себя следующие этапы: математическое описание, исследование установившихся режимов, исследование переходных режимов.
Рассмотрим случай, когда в замкнутой системе можно выделить объект О и управляющее устройство УУ, как показано на рис.2.1.
Рис.2.1
Общее уравнение САУ получается из системы уравнений объекта и управляющего устройства.
Состояние объекта характеризуется выходной величиной x(t), регулирующим воздействием y(t) и возмущением f(t). Тогда выходная величина может быть представлена функцией:
Состояние управляющего устройства характеризуется регулирующим воздействием y(t) и входным воздействием
Три последних уравнения полностью описывают процессы в САУ. Если в этих уравнениях исключить переменные y(t) и
Это уравнение оценивает состояние системы во времени, определяет переходные процессы и обычно называется уравнением динамики.
Однако в форме дифференциальных уравнений математическое описание в теории автоматического управления обычно не применяется вследствие сложности решения таких уравнений.
Исследование САУ существенно упрощается при использовании прикладных математических методов операционного исчисления.
Возьмем некоторый элемент САУ, имеющий один вход и один выход. Дифференциальное уравнение элемента в общем случае имеет вид:
Если в уравнение (2.1) вместо функции времени xвых(t) и xвх(t) ввести функции Xвых(p) и Xвх(p) комплексного переменного р, поставив условием, что эти функции связаны зависимостями:
то оказывается, что дифференциальное уравнение, содержащее функции xвых(t) и xвх(t) при нулевых начальных условиях, равносильно линейному алгебраическому уравнению, содержащему функции Xвых(p) и Xвх(p):
anpnXвых(p)+an-1pn-1Xвых(p)+...+a1pXвых(p)+a0Xвых(p)=
=bmpmXвх(p)+bm-1pm-1Xвх(p)+...+b1pXвх(p)+b0Xвх(p).(2.3)
Такой переход от дифференциального уравнения к однозначно соответствующему ему алгебраическому уравнению называется преобразованием Лапласа.
Функция X(p) называется изображением функции x(t), функция x(t) называется оригиналом функции X(p).
Операция перехода от искомой функции x(t) к ее изображению X(p) (нахождение изображения от оригинала) называется прямым преобразованием Лапласа и записывается условно с помощью символа L как
L{x(t)}=X(p).
Операция перехода от изображения X(p) к искомой функции x(t) (нахождение оригинала по изображению) называется обратным преобразованием Лапласа и записывается условно с помощью символа L-1 как
L-1{X(p)}=x(t).
Формально переход от дифференциального уравнения к алгебраическому относительно изображения при нулевых начальных условиях получается путем замены символов дифференцирования оригиналов функций dn/dtn, dn-1/dtn-1...,d/dt соответственно на pn,pn-1,...p и функций x(t)- их изображениями X(p). С комплексной переменной p, как и с другими членами алгебраического уравнения, можно производить различные действия: умножение, деление, вынесение за скобки и т.д.
Так как возможность однозначного перехода от дифференциального уравнения к алгебраическому значительно упрощает расчеты, то важно убедиться в правомерности такого перехода.
Обозначим в исходном дифференциальном уравнении
Согласно правилу интегрирования по частям
При нулевых начальных условиях x(0)=0 и с учетом (2.2) получим:
Таким образом, операция дифференцирования оригинала соответствует операции умножения изображения этого оригинала на комплексное число p.
Так как
Каждый элемент САУ в общем случае описывается дифференциальным уравнением вида (2.1). Следовательно, при выводе дифференциального уравнения системы в целом необходимо совместно решить несколько дифференциальных уравнений высших порядков.
Преобразование дифференциальных уравнений по Лапласу позволяет свести эту задачу к решению системы алгебраических уравнений. Определив из алгебраических уравнений изображение X(p) искомой функции x(t), определяющей переходной процесс в системе, находят эту функцию, пользуясь таблицами оригиналов и изображений или по известным формулам обратного преобразования Лапласа.
Кроме того, преобразование дифференциального уравнения по Лапласу дает возможность ввести понятие передаточной функции.
Вынеся в уравнении (2.3) Xвых(p) и Xвх(p) за скобки, получим:
(anpn+an-1pn-1+...+a1p+a0)Xвых(p)=
=(bmpm+bm-1pm-1+...+b1p+b0)Xвх(p).
Определим из этого уравнения отношение изображения выходной величины к изображению входной:
Отношение изображения выходной величины элемента (или системы) к изображению его входной величины при нулевых начальных условиях называется передаточной функцией элемента (или системы).
Передаточная функция W(p) является дробно-рациональной функцией комплексной переменной р:
где A(p)=anpn+an-1pn-1+...+a1p+a0- полином степени n,
B(p)=bmpm+bm-1pm-1+...+b1p+b0- полином степени m.
Из определения передаточной функции следует, что:
Xвых(p)=Xвх(p)W(p).
Передаточная функция является основной формой математического описания объектов в теории автоматического управления и так как она полностью определяет динамические свойства объекта, то первоначальная задача расчета САУ сводится к определению передаточной функции.
Рассмотрим примеры по определению передаточной функций некоторых простейших схем, характерных для электроники.
Пример 2.1.
Вывести передаточную функцию для схемы на рис.2.2, считая входным воздействием приложенное напряжение u, а выходным - ток в цепи i.
Рис.2.2
Процессы в схеме описываются уравнением:
Перейдем к изображениям по Лапласу:
U(p)=LpI(p)+RI(p)=I(p)(Lp+1).
Составим передаточную функцию как отношение изображения выходной величины к изображению входной величины:
где k=1/R- коэффициент передачи,
T=L/R- постоянная времени.
Передаточные функции принято записывать в такой форме, чтобы свободные члены полиномов от р равнялись бы единице, что и сделано как в рассмотренном примере, так и в последующих.
Пример 2.2.
Вывести передаточную функцию схемы на рис.2.3, считая входной величиной напряжение u1, а выходной - u2.
Рис.2.3
При выводе передаточной функции будем считать, что цепочка не нагружена (никаких элементов к выходным зажимам не подключено, либо эти элементы имеют сопротивление, стремящееся к бесконечности) и сопротивление источника входного напряжения настолько велико, что его можно считать равным бесконечности.
(а)
(б)
(в)
Подставим (в) в (а):
Перейдем к изображениям:
Передаточная функция
где T=RC- постоянная времени.
Пример 2.3.
Вывести передаточную функцию схемы на рис.2.4, считая входной величиной u1, выходной u2, при допущениях, сформулированных в примере 2.2. iC
Рис.2.4
Составляем два уравнения по второму закону Кирхгофа, одно уравнение по первому закону Кирхгофа и расписываем выходную величину:
(а)
(б)
(в)
(г)
Из уравнений (б) и (в) соответственно получим:
Подставим полученные выражения i1(t) и i2(t) в уравнения (а) и (г):
Перейдем к изображениям:
Передаточная функция:
где
Пример 2.4.
Вывести передаточную функцию схемы на рис.2.5, считая входной величиной u1, выходной - u2, при допущениях, сформулированных в примере 2.2.
Рис.2.5
Система уравнений электрического равновесия схемы для мгновенных значений величин:
Последнее соотношение здесь, конечно, не уравнение, а обозначение выходной величины.
Уравнения в операторной форме:
(а)
(б)
(в)
Из уравнения (б)
Подставим полученное значение I2(p) в (в):
Последнее соотношение подставим в (а) и определим передаточную функцию:
где
Пример 2.5.
Вывести передаточную функцию схемы на рис.2.6, а , содержащей операционный усилитель.
Рис.2.6
Операционными усилителями называются усилители постоянного тока малой мощности с большим коэффициентом усиления. В настоящее время они выполняются по интегральной технологии, т.е. в виде микросхем.
Выведем вначале передаточную функцию для типового включения операционного усилителя, показанного на рис.2.6, б, в общем виде.
Так как реальные микросхемы операционных усилителей имеют большой коэффициент усиления kоу и большое входное сопротивление rвх, то предположим, что
С учетом принятых допущений напряжение между инвертирующим и неинвертирующим входами операционного усилителя
Отсюда следует, что напряжение на входе “-“ (инвертирующем)
Кроме того, учитывая, что
Выходное напряжение схемы тогда определяется следующим соотношением:
Теперь легко получить выражение для передаточной функции схемы (см.рис.2.6, б):
Знак “минус” в последнем выражении указывает на то, что полярность выходного напряжения схемы противоположна полярности входного напряжения.
Для определения передаточной функции схемы на рис.2.6, а вначале найдем сопротивление конденсатора ZC(p) в операторной форме.
Мгновенное значение тока через емкость равно:
Переходя к изображениям по Лапласу:
IC(p)=CpUC(p).
Из последнего равенства
(Аналогично для индуктивности можно получить ZL(p)=Lp).
Используя выведенное значение ZC(p), для схемы на рис.2.6, а получим:
где k=R2/R1- коэффициент передачи,
T=R2C- постоянная времени.
К содержанию
