Теория автоматического управления


         

Критерий устойчивости михайлова


Основан также на рассмотрении характеристического полинома.

Подставим в этот полином вместо р мнимую переменную

. Получим комплексную функцию

где

- действительная часть, полученная из членов А(р), содержащих четные степени р;

- мнимая часть, полученная из членов А(р) с нечетными степенями р.

Изобразим А(

) в виде графика в комплексной плоскости, как показано на рис.3.6.

Рис.3.6

Этот график принято называть годографом Михайлова. Каждому значению

соответствуют определенные значения Х(
) и Y(
) и определенная точка на плоскости. При
=0 функция А(
)=а0, т.е. годограф начинается на действительной оси. При
функция А(
) тоже неограниченно возрастает.

Сформулируем критерий Михайлова: система устойчива, если годограф А(

), начинаясь на действительной положительной полуоси, огибает против часовой стрелки начало координат, проходя последовательно n квадрантов, где n - порядок системы.

Представленный выше годограф (см. рис.3.6) соответствует устойчивой САУ четвертого порядка.

Годограф Михайлова можно строить по точкам, изменяя частоту от нуля до бесконечности с определенным шагом и вычисляя каждый раз значение А(

).

Можно поступить по другому: найти точки пересечения годографа с осями и соединить их плавной линией. Для этого, определив из уравнения Х(

)=0 значения частот, соответствующих точкам пересечения годографа А(
) с мнимой осью, подставляют их в выражение Y(
). В результате получают соответствующие координаты. Аналогично находят точки пресечения А(
) с действительной осью, приравнивая нулю мнимую часть Y(
).

Собственно, после того, как найдены значения

, при которых годограф А(
) пересекает оси координат, то есть нули Х(
) и Y(
), нет необходимости строить сам годограф.

Из формулировки критерия следует, что устойчивость имеет место, если нули Х(

) и Y(
) чередуются с ростом
, начиная с
=0, когда Y(
)=0, а Х(
)>0.

Выше отмечалось, что условием нахождения САУ на границе устойчивости является попадание корня характеристического уравнения на мнимую ось плоскости корней. Но если характеристическое уравнение А(р)=0 имеет корень

, то удовлетворяется равенство



Содержание  Назад  Вперед