Теория автоматического управления


         

Исходное характеристическое уравнение распадается на


Пусть характеристическое уравнение САУ в общем виде будет следующее:



где N(p),S(p),F(p)- полиномы от р.

После подстановки
получим:



Исходное характеристическое уравнение распадается на два:

(3.6)

Решим эту систему уравнений:

(3.7)

Построенный по выражениям (3.7) график называется кривой D - разбиения плоскости (
,
). При движении по кривой D - разбиения в сторону возрастания
штриховку наносят слева, если определитель
положителен, и справа - если отрицателен.

В результате получают область. которая может претендовать на область устойчивости. В заключение произвольную точку этой области проверяют любым из критериев устойчивости.

Пример 3.2.

Решить задачу примера 3.1 с использованием критерия Михайлова.

Подставим в выражение характеристического полинома вместо р комплексную переменную
:



Для определения устойчивости не будем строить годограф Михайлова, а рассчитаем величину kгр, т.е. поступим аналогично примеру 3.1.

Условие нахождения САУ на границе устойчивости:



Корень второго уравнения
отбрасываем, т.к. для нахождения системы на границе устойчивости годограф Михайлова должен пройти через начало координат при
.

Тогда из второго уравнения определяем



и подставляем в первое:



Получили тот же результат, что и в примере 3.1.

Пример 3.3.

По критерию устойчивости Михайлова определить устойчивость САУ по заданному характеристическому полиному:

A(p)=3*10-4p5+5*10-3p4+0,1p3+0,5p2+0,9p+1

Годограф Михайлова построим примерно, определив координаты пересечения его с осями координат.



С учетом того, что годограф Михайлова строится при изменении
от 0 до +
, определим положительные корни уравнения X(
)=0:
и неотрицательные корни уравнения Y(
)=0:


Координаты пересечения годографа Михайлова с осями координат (в порядке возрастания частоты):

1)
Y=0; X=1;

2)
X=0; Y=0,9*1,41-0,1*1,413+0,0003*1,415=0,99;

3)
Y=0; X=1-0,5*3,22+0,005*3,24=3,6;

4)
X=0; Y=0,9*9,9-0,1*9,93+0,0003*9,95=-59,59;

5)
Y=0; X=1-0,5*182+0,005*184=364.

Примерный вид годографа Михайлова для полученных данных показан на рис.3.8. Исследуемая система устойчива.


Содержание  Назад  Вперед