Теория автоматического управления



         

Критерий устойчивости гурвица


По этому критерию условия устойчивости сводятся к выполнению ряда неравенств, связывающих коэффициенты уравнения системы. Пусть характеристический полином САУ будет (характеристический полином определяет левую часть уравнения САУ, т.е. знаменатель передаточной функции):

A(p)=anpn+an-1pn-1+...+a1p+a0

Пологая an>0(если anотрицательно, то это условие можно выполнить, умножив весь полином на минус единицу), составляется из коэффициентов A(p)определитель Гурвица:

В первой строке пишутся коэффициенты с условно нечетными индексами (т.е. коэффициенты с индексами n минус нечетное число, где n - порядок характеристического полинома), во втором - с условно четными (т.е. n минус четное число). Концы строк заполняются нулями так, чтобы матрица имела n столбцов. Третья и четвертая строки получаются сдвигом первых двух на одно место вправо и т.д. ( всего строк - n).

Условия устойчивости заключаются в требовании положительности определителя Гурвица и всех его диагональных миноров. Из этого правила можно вывести более удобное для практического применения: САУ устойчива, если положительны все коэффициенты характеристического полинома и предпоследний диагональный минор определителя Гурвица (справедливо для систем не выше четвертого порядка).

Выведем выражение для расчета предпоследнего диагонального минора

систем третьего и четвертого порядка.

Для систем третьего порядка (n=3):

A(p)=a3p3+a2p2+a1p+a0;

(3.1)

Для систем четвертого порядка (n=4):

A(p)= a4p4+a3p3+a2p2+a1p+a0;

(3.2)

Перед дальнейшим изложением материала уточним терминологию и покажем, как без излишних вычислений составляется характеристический полином замкнутой САУ по заданной структурной схеме. Для пояснений воспользуемся схемой на рис.3.2.

Рис.3.2

Пусть передаточная функция разомкунтой системы Wp(p) и цепи обратной связи Woc(p) будут:

Последовательное соединение элементов с передаточными функциями Wp(p) и Woc(p) даст разомкнутую цепь звеньев замкнутой САУ с передаточной функцией Wр.ц.(p), которую будем называть передаточной функцией разомкнутой цепи:




Содержание  Назад  Вперед