Теория автоматического управления


         

Через принятые обозначения определим передаточную




Через принятые обозначения определим передаточную функцию замкнутой САУ:



Отсюда характеристический полином замкнутой САУ будет:

Aз(p)=Ap(p)Aoc(p)+Bp(p)Boc(p).(3.3)

То есть, характеристический полином замкнутой САУ равен сумме числителя и знаменателя передаточной функции разомкнутой цепи.

В качестве примера рассмотрим САУ со структурной схемой, приведенной на рис.3.3, для которой необходимо определить соотношение параметров, обеспечивающих устойчивость.



Рис.3.3

Составим характеристический полином замкнутой САУ в соотвествии с (3.3):

Aз(p)=(T1p+1)(T2p+1)(T3p+1)+k1k2k3.(3.4)

Запишем характеристический полином в общем виде:

Aз(p)=a3p3+a2p2+a1p+a0;

где

a3=T1T2T3, a2=T1T2+T2T3+T3T1,

a1=T1+T2+T3, a0=k1k2k3+1=k+1.

Условия устойчивости сводятся к следующим неравенствам:

T1T2T3>0, T1T2+T2T3+T3T1>0,

T1+T2+T3>0, k>0



Первые три неравенства интереса не представляют, если мы ограничиваем рассмотрение положительными значениями постоянных времени. Четвертое неравенство показывает лишь, что в случае ошибки и включения вместо отрицательной связи положительной система станет неустойчивой.

Реальные ограничения на значения параметров системы накладывает последнее неравенство. Его удобнее записать в другом виде, поделив левую часть на T1T2T3:



Это неравенство показывает, что устойчивость САУ в конце концов нарушится при неограниченном увеличении коэффициента передачи k при любых значениях постоянных времени.

Предельное по величине значение k, при котором САУ теряет устойчивость, принято называть критическим (или граничным). Для рассматриваемого примера:

(3.5)

Значение граничного коэффициента передачи зависит не от абсолютных значений постоянных времени , а от их отношения.

Для рассмотренной здесь структуры при равенстве всех постоянных времени, преобразовав соотношение (3.5) к виду



легко определить, что kгр=8. Для данной структуры найденное значение kгр является минимальным. Чем больше будут различаться постоянные времени, тем больше будет величина kгр.


Содержание  Назад  Вперед